Mesurer la densité du soleil grâce aux arbres

[youtube https://www.youtube.com/watch?v=yY-0-34j9J8&w=560&h=315]

Voilà deux choses que l’on n’aurait jamais liées ensembles : la densité du soleil et le feuillage des arbres ! Et pourtant…

Dans la vidéo, nous expliquons comment les deux peuvent être liés. Ici, je vous propose un complément aux équations pour les plus curieux d’entre vous. Il est recommandé de regarder la vidéo avant de vous aventurer dans les calculs.

Le problème ressemble à celui sur l’image ci-dessous : Les rayons du soleil passent au travers d’un petit trou qui reproduit une forme circulaire au sol. À partir des informations uniquement liées aux tâches de soleil, il est possible de calculer la densité du soleil.

(il est à noter que tous les calculs donnés ici ne sont qu’une pâle copie/traduction de l’article original donné dans les sources)

 

Scilabus_angle

Nous avons besoin de deux équations de bases :

  1. La définition de la masse (M) dans laquelle nous remplaçons le volume par celui d’une sphère

 

1

Où rho est la masse volumique (autre petit nom de la densité), et r est le rayon du soleil.

On peut aussi relier le diamètre du soleil (2r) à la distance entre le soleil et la terre (R) et l’angle d’ouverture des rayons lumineux (theta) (plus de détails)

2

Donc quand on rassemble les deux équations ci-dessous en une seule, nous obtenons :

3

  1. La troisième loi de Kepler

4

Où R est la distance entre le soleil et la terre, T est la période de la terre (365 jours), M est la masse du soleil et G est la constante gravitationnelle (6.67*10^-11 m^3kg^-1s^-2).

Quand on rassemble notre équation (1) avec l’équation (2), nous obtenons :

5

Et en isolant la densité :

11

La densité du soleil ne dépend donc plus que de la constante gravitationnelle (G), de l’angle d’ouverture des rayons lumineux (theta) et de la période (365 jours).

Dernière étape, il faut déterminer théta. C’est très difficile à faire expérimentalement alors on utilise plutôt nos lois trigonométriques. Pythagore, à toi de jouer !

Voici un résumé du problème en schéma :

Scilabus_schema

Avant de trouver théta, il nous faudra mesurer trois valeurs (l, alpha et d) qui nous mèneront à théta. Une fois ces valeurs mesurées, on peut appliquer les formules suivantes :

Dans le triangle ABC :

7

D’où

8

Avec la formule de l’arc de cercle, on sait que :

9

Alors en combinant les deux équations précédentes, on obtient :

10

Il ne reste plus qu’à réinjecter cette valeur de théta dans cette équation :

6

La densité réelle du soleil est de 1408 kg/m^3. Dans mon cas, la meilleure valeur que j’ai réussi à obtenir s’éloignait de la valeur réelle de 30%. Selon moi, la valeur la plus critique est la longueur l entre le centre de la tâche et la verticale au trou dans le feuillage. Si les arbres sont hauts et très dense, il peut être très difficile de localiser l’endroit d’où provient vraiment la lumière. Je ne serais pas étonnée de mettre trompée de plus de 50cm sur cette mesure. Même chose pour l’angle alpha. Il correspond à l’angle auquel la tâche devient parfaitement circulaire… et nos yeux ne sont pas des experts en la matière. Là encore, une erreur de plus de 10˚ ne me surprendrait guère.

Et vous, avez-vous réussi à obtenir une valeur proche de la valeur réelle ?

Notez que la valeur que nous trouvons par le calcul est une valeur de densité moyenne. Le soleil a cependant une densité très variable entre son cœur (à 150 000 kg/m^3) et sa surface (0.0002 kg/m^3).

Et à votre avis, si on arrive à réduire la taille du trou au point d’avoir un diamètre proche des longueurs d’onde de la lumière, que va-t-il se passer ?

Sources :

“Tree Leaf Shadows to the Sun’s Density: A Surprising Route “:

Le soleil : lien 1 et lien 2

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3 Responses

  1. Aethnight dit :

    Pour la question à la fin : une jolie diffraction avec un arc en ciel sur le sol :p maintenant faut faire un trou de 600 nm ^^

  1. décembre 7, 2014

    […] Le détail du calcul : http://www.scilabus.com/2014/09/24/mesurer-la-densite-du-soleil-grace-aux-arbres/- Mesurer le diamètre du soleil sans le regarder : […]

  2. mars 26, 2016

    […] Le détail du calcul : http://www.scilabus.com/2014/09/24/mesurer-la-densite-du-soleil-grace-aux-arbres/ – Mesurer le diamètre du soleil sans le regarder : […]

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