Marcher ou courir sous la pluie, une réponse claire ?

Aucune envie ! Mais alors aucune envie d’arriver mouillé. Pourtant, la pluie est battante et le chemin n’est pas couvert. Être sec sera impossible.

Comment faire pour être le moins mouillé possible ? C’est la question à laquelle nous tentons de répondre aujourd’hui par le biais d’une vidéo ainsi que d’un article qui la complète.

[youtube=http://www.youtube.com/watch?v=Lq2P91M7TF0&w=560&h=315]

Raisonnons par l’absurde. Peu importe les conditions (vitesse de la pluie, de la personne, densité de gouttes), il est évident que si l’on reste un temps infini ou que l’on parcoure une distance infinie, c’est dans ces conditions que l’on sera le plus mouillé. On veut absolument réduire le temps passé sous la pluie et la distance à parcourir. Mais à quel point ces facteurs sont-ils importants ? Dans la gamme de vitesse qu’un Homme peut atteindre (entre 1m/s à 10m/s environ soit 3.6 à 36km/h), y a-t-il vraiment une différence significative de « mouillage » de la personne ?

(il est conseillé de regarder la vidéo avant de s’aventurer dans la suite)

 

Les conditions initiales :

Posons notre problème et considérons que la personne doit parcourir une distance d sous la pluie pour aller s’abriter. Considérons également – pour l’instant- que la pluie tombe verticalement à une vitesse constante $latex v_{pluie}$, et avec une densité $latex rho$.

distance-to-shelter

Pour simplifier le problème, posons que la personne qui se déplace à une vitesse v constante est similaire à un parallélépipède tel que celui-ci :

 parallepipedeVide_noir

Comme la pluie tombe verticalement et que la personne avance horizontalement, relativement à la personne, la pluie arrive en angle (loi de composition des vitesses).

composition-vitesse

C’est ici qu’il est important de noter une propriété géométrique. Relativement à l’Homme, la pluie tombe déjà en angle ($latex v_{pluie/homme}$)  alors que par rapport à un observateur extérieur, elle tombe verticalement ($latex v_{pluie}$). Donc si la pluie se met à tomber en angle par rapport à l’observateur extérieur, elle tombera toujours en angle pour l’homme qui marche sous la pluie mais avec une valeur d’angle différente. Le raisonnement qui suit est donc valable pour une pluie verticale et pour une pluie en angle face à nous.

Pour une pluie en angle mais qui arrive dans le dos, les choses changent, nous le verrons plus tard dans l’article.

Dans notre schéma et en utilisant les propriétés des triangles énoncées par notre ami Pythagore, l’angle alpha (qui correspond donc à l’angle de la pluie par rapport à l’homme) se définit par $latex tanalpha={v_{coureur} over v_{pluie}}$.

L’angle est donc un ratio de vitesses. Considérons à présent les surfaces touchées par la pluie : la tête et les épaules et l’avant du corps. Comme l’on considère que nous sommes de parallélépipèdes, ses surfaces sont des rectangles. En multipliant ces surfaces avec la distance à parcourir, la densité de pluie et les vitesses, on peut trouver la formule du poids (arbitraire) de pluie reçu par la personne (le détail du calcul est assez simple, si vous en voulez la démonstration, regardez cette vidéo du Pr. Walter Lewin).

$latex Poids_{pluieRecue}={1 over v_{coureur}} rho d sqrt{v_{coureur}^2+v_{coureur}^2} (a.b.cosalpha +a.h.sinalpha) $

Maintenant que nous avons notre équation totale, nous allons l’étudier. À cette fin, nous pouvons séparer cette équation en deux sous-équations : une pour la pluie reçue sur la tête et les épaules et une autre pour la face avant. Nous avons alors :

$latex Poids_{pluieRecueTete} = {a.bcosalpha over v_{coureur}} rho d sqrt{v_{coureur}^2+v_{coureur}^2} $

$latex Poids_{pluieRecueAvant}={a.hsinalpha over v_{coureur}} rho d sqrt{v_{coureur}^2+v_{coureur}^2} $

L’étude

Pour simplifier encore l’étude et obtenir des tendances générales plutôt que des chiffres, on peut utiliser des ratios (sans unités). Dans notre cas, nous regardons le poids de la pluie reçu divisé par la surface couverte et la densité de la pluie. De la sorte, cela nous donne un ratio de poids. De la même façon, plutôt que d’utiliser des chiffres pour les vitesses, on utilise un ratio de la vitesse du coureur sur la vitesse de la pluie : $latex V={v_{coureur} over v_{pluie}}$ .

Les deux équations se réecrivent alors de la façon suivante :

Pour la pluie reçue sur la tête et les épaules :

$latex {Poids_{pluie} over a.b.rho.d} = cos arctan V. sqrt{ 1 + {1 over V^2}} = {1 over V}$

Pour la pluie reçue sur la face avant

$latex {Poids_{pluie} over a.3,5.b.rho.d} = sin arctan V. sqrt{ 1 + {1 over V^2}} = 1$

(le chiffre 3.5 indiqué correspond à l’approximation que la hauteur h est 3.5 fois plus élevée que la largeur b).

À partir de ces équations, nous obtenons le graphe suivant :

graphe

Ce qui est intéressant de voir sur ce graphe est que l’eau reçue par l’avant du corps est indépendante de la vitesse comme on peut finalement le deviner en y réfléchissant (voir démonstration graphique dans la vidéo). Comme l’avant de notre corps balaye l’espace qui est devant nous et que la pluie tombe de façon constante, la quantité de pluie reçue est alors indépendante de la vitesse mais dépendante de la distance à parcourir !

La façon dont il faut lire ce graphe est la suivante : comme cela représente des ratios et non des valeurs en kg ou en km/h, il faut voir que le chiffre 1 sur l’axe des abscisses (horizontal) correspond à : « la vitesse de l’homme est égale à la vitesse de la pluie ». Le chiffre 2 correspond à « la vitesse de l’homme est deux fois plus grande que la vitesse de la pluie » et ainsi de suite.

Dans le cas de l’eau reçue par la tête et les épaules, plus la vitesse de l’homme est supérieure à la vitesse de la pluie, moins la quantité d’eau reçue sera importante. Comme la vitesse est inversement proportionnelle au temps, cela signifie qu’il faut aller le plus vite possible pour recevoir le moins de gouttes.

L’angle d’incidence de la pluie :

On l’a vu, l’angle d’incidence de la pluie ne changera pas le fait qu’il faut courir le plus vite possible pour limiter la quantité d’eau reçue. Par contre, si la pluie vient dans notre dos, alors les choses changent. Si maximiser sa vitesse est toujours préférable au déplacement lent, il existe cependant une vitesse optimale.

Cette fois-ci, nous considérons que la pluie possède une vitesse horizontale et une vitesse verticale (les deux combinées donnant une vitesse en angle). La vitesse horizontale de la pluie se dirige dans la même direction que celle du marcheur. Dans le cas de la pluie reçue sur la tête, rien ne change. La tête étant une surface horizontale, seule la composante verticale de la pluie touche la tête. L’équation reste la même :

$latex {Poids_{pluie} over a.b.rho.d}={1 over V}={v_{pluieVerticale} over v_{coureur}} $

Du côté de l’eau reçue sur la face avant, cela change. Notre équation prend en compte un nouveau terme de vitesse. Elle devient alors :

$latex {Poids_{pluie} over a.3,5.b.rho.d}={ v_{coureur} – v_{pluieHorizontale} over v_{coureur}} $

Cette fois-ci, nous n’utilisons pas de ratios pour pouvoir faire la distinction entre les différentes vitesses. Ainsi, la vitesse de la pluie est posée telle que la composante de la vitesse de la pluie horizontale est de 3m/s, la composante verticale est à 10m/s. C’est la vitesse du coureur que nous faisons varier. Le graphe obtenu est alors le suivant :

graphe2

En tout logique, l’eau reçue sur les épaules et la tête est identique au graphe précédent. Il est intéressant de noter que pour l’avant du corps, cela change. Nous passons d’une indépendance envers la vitesse dans le cas de la pluie verticale à une dépendance importante pour une pluie dans le dos.

Chose intéressante à constater, la quantité de pluie reçue serait même minimale si l’on arrivait à se coordonner et à courir à la même vitesse que la composante horizontale de la pluie. Attention, ne vous méprenez pas ! La valeur de 0 est fictive, nous donnons une quantité d’eau reçue arbitraire mais il est impossible de fuir les gouttes ! Car nous balayons toujours les gouttes qui sont en avant de nous…

 

Les limites

Bien sûr, cette démonstration est faite d’approximations. Le corps n’est pas vraiment un parallélépipède, la pluie n’est pas toujours constante (en densité et en vitesse), et l’angle d’incidence de la pluie peut changer avec le vent. Sans compter les voitures qui passent dans les flaques et vous arrosent. Il y a de la recherche qui se fait sur le sujet avec des articles très intéressants. Vous les trouverez dans les sources. Elles s’accordent toutes pour dire que, même si l’on raffine les paramètres de l’étude, il faudra maximiser sa vitesse pour être le moins mouillé possible.

courir Sources :

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6 Responses

  1. doumams dit :

    Je trouve votre article vraiment intéressant, je salue vos efforts pour essayer d’exposer clairement votre raisonnement. Parcontre dans tout votre raisonnement vous n’avez pas expliqué avec quelle masse volumique doit on utiliser. Il me paraît que ca ne peut pas etre celle de l’eau parce que on a un mélange {air+eau}.

  2. Merci pour votre commentaire !
    Si je me souviens bien, la densité ici fait référence à la densité de gouttes. Donc la densité serait un nombre de goutte par unité de volume ou de surface (que l’on peut ensuite convertir en kg/m3 si nécessaire).

  3. eddy_malow_le_premier_savant dit :

    mais non c pas clair. la vitesse du congolexicomatisme est a la vitesse carré des molecules H20, car la masse molaire des habitants du congo est far plus superieure.

  1. décembre 7, 2014

    […] détails plus complets et plus mathématiques sont donnés ici : http://scilabus.com/2013/12/06/marcher-ou-courir_pluie/Je recommande également la vidéo de minute physics qui explore également la question : […]

  2. mars 26, 2016

    […] détails plus complets et plus mathématiques sont donnés ici : http://www.scilabus.com/2013/12/06/marcher-ou-courir_pluie/ Je recommande également la vidéo de minute physics qui explore également la question : […]

  3. octobre 31, 2016

    […] and Renaud Manuguerra. Its editorial line is to take everyday life situations – for example, is it better to walk or to run in the rain, what is the best way to share space in a microwave oven? – and explore them scientifically. This […]

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