Et si le lièvre était parti un peu plus tôt ?

Monsieur De La Fontaine nous conte dans une de ses fables l’histoire d’une course entre un lièvre et une tortue. Le lièvre, sûr de lui, laisse partir la tortue en avance qui se hâte tant qu’elle peut. Au moment de franchir la ligne d’arrivée, le lièvre se rend compte, trop tard, qu’il est temps de partir. Mais il ne réussira pas à rattraper la tortue.

Mais aurait-il vraiment pu un jour rattraper la tortue même en étant parti plus tôt ?

C’est en donnant la réponse à cette question que l’on peut faire apparaître la notion de série mathématique…

Imaginons que le lièvre soit parti en ayant laissé une avance de 100 m à la tortue. Le lièvre part alors et met 10 secondes pour parcourir ces 100m.
Oui mais pendant ces 10 secondes, la tortue a encore parcouru 10m de plus, et il faudra donc 1 sec au lièvre pour parcourir ces 10 m… oui mais pendant ce temps là, la tortue a fait 10 cm supplémentaires… et il faudra au lièvre encore 0,1 seconde pour rattraper ce retard… et on peut continuer indéfiniment…

Ainsi, s’il existe une infinité de distances à parcourir pour rejoindre la tortue, on sait que le lièvre ne pourra jamais réaliser une infinité de déplacements. En d’autres termes, l’infini signifie qu’il n’y a pas de dernière action, et s’il n’y a pas de dernière action, le lièvre ne pourra pas rattraper la tortue.

Ce paradoxe date du Ve siècle avant JC et avait été énoncé par Zenon d’Elée, philosophe grec. Il visait à prouver que le mouvement était impossible. Il faudra attendre le XVIIe siècle pour que ce paradoxe (connu sous le nom du paradoxe d’Achille et de la tortue) et le développement des mathématiques avec James Gregory pour enfin démontrer que ce paradoxe n’a pas lieu d’être et qu’une vraie solution mathématique existe.

C’est ainsi que les séries mathématiques sont apparues.

L’arrivée des séries mathématiques a donc prouvé que l’ajout de valeurs positives à une valeur positive ne donne pas forcément une valeur infinie (i.e: divergente) comme Zénon le pensait.

On peut écrire notre problème de ces distances qui s’ajoutent à l’infini comme suit :
2010_09_15_equation

Formule de la distance parcourue

2010_09_15_distance2

Formule de la distance parcourue sous forme graphique

Et lorsque l’on regarde le comportement de cette série sur un grand nombre d’itérations, on remarque que cela converge. Il existe une valeur finie, qui existe et qui est 111.11111… En terme moins mathématiques, au bout d’un certain nombre d’ajout de petites distance, il existe une valeur maximale de distance. Et s’il existe une valeur limite ou maximale, c’est que le lièvre pourra atteindre la tortue puisque cette fin existe !
Rendez-vous compte… il aura fallu attendre 21 siècles, soit deux millénaires, avant que l’on puisse montrer mathématiquement une situation que l’on peut voir et démontrer expérimentalement dans la vie de tous les jours.

Références :

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